Guía de Derivadas

I ¿Qué es una derivada?

La derivada de una función mide la tasa de cambio instantánea de esa función en un punto dado. Geométricamente, representa la pendiente de la recta tangente a la curva en ese punto.

Definición formal (límite)

La derivada de f(x) en el punto x se define como:

f '(x) = lím_h→0 [f(x+h) − f(x)] / h

Esto es: cuánto cambia f cuando x cambia una cantidad infinitesimalmente pequeña h.

En la práctica, no necesitamos calcular ese límite cada vez — existen reglas algebraicas que lo hacen automáticamente.

Notaciones equivalentes

f '(x) = y' = dy/dx = df/dx = Df(x)

Todas significan lo mismo: la derivada de f respecto a x.

II Derivadas de funciones elementales

Estas son las derivadas que debes memorizar — son la base de todo:

f(x)	f '(x)	Ejemplo
c (constante)	0	(d/dx) 7 = 0
x	1	(d/dx) x = 1
xⁿ	n·xⁿ⁻¹	(d/dx) x⁵ = 5x⁴
eˣ	eˣ	(d/dx) eˣ = eˣ
aˣ	aˣ · ln(a)	(d/dx) 2ˣ = 2ˣ·ln2
ln(x)	1/x	(d/dx) ln(x) = 1/x
logₐ(x)	1/(x·ln a)	(d/dx) log₂x = 1/(x·ln2)
sin(x)	cos(x)	(d/dx) sin(x) = cos(x)
cos(x)	−sin(x)	(d/dx) cos(x) = −sin(x)
tan(x)	sec²(x)	(d/dx) tan(x) = sec²(x)
√x	1/(2√x)	(d/dx) √x = 1/(2√x)
1/x = x⁻¹	−1/x²	(d/dx) 1/x = −1/x²

III Reglas de derivación

Con estas reglas puedes derivar cualquier combinación de funciones:

📌 Regla de la constante

[c · f(x)]' = c · f '(x)

Las constantes salen como factor.
Ej: [3x⁴]' = 3·4x³ = 12x³

➕ Regla de la suma / resta

[f ± g]' = f ' ± g'

Se deriva término a término.
Ej: [x³ + sin(x)]' = 3x² + cos(x)

✖️ Regla del producto

[f · g]' = f '·g + f·g'

"Deriva la primera por la segunda, más la primera por la derivada de la segunda."
Ej: [x²·sin(x)]' = 2x·sin(x) + x²·cos(x)

➗ Regla del cociente

[f/g]' = (f '·g − f·g') / g²

"Numerador: deriva arriba por abajo menos arriba por deriva abajo. Denominador: abajo al cuadrado."
Ej: [x/cos(x)]' = (cos(x) + x·sin(x)) / cos²(x)

⛓️ Regla de la cadena

[f(g(x))]' = f '(g(x)) · g'(x)

"Deriva la función exterior dejando el interior intacto, luego multiplica por la derivada del interior."
Ej: [sin(x²)]' = cos(x²)·2x

🔢 Regla de la potencia (generalizada)

[u(x)ⁿ]' = n·u(x)ⁿ⁻¹ · u'(x)

Potencia cualquiera con función interior.
Ej: [(x²+1)⁵]' = 5(x²+1)⁴·2x

💡 Truco para identificar qué regla usar

1. ¿Hay suma o resta? → Regla de la suma (término a término).
2. ¿Hay multiplicación de dos funciones? → Regla del producto.
3. ¿Hay una función dentro de otra? → Regla de la cadena.
4. ¿Hay una fracción de funciones? → Regla del cociente.
A veces necesitas combinar más de una regla.

IV Ejemplos resueltos paso a paso

Ejemplo 1 — Regla de la potencia + suma

f(x) = 4x³ − 7x² + 2x − 5

1

Cada término se deriva por separado (regla de la suma).

2

d/dx [4x³] = 4·3x² = 12x²

3

d/dx [−7x²] = −7·2x = −14x

4

d/dx [2x] = 2 d/dx [−5] = 0

f '(x) = 12x² − 14x + 2

Ejemplo 2 — Regla del producto

f(x) = x³ · eˣ

1

Identificamos: f = x³, g = eˣ. Aplicamos [f·g]' = f'·g + f·g'

2

f' = 3x² g' = eˣ

3

Sustituimos: 3x²·eˣ + x³·eˣ

4

Factorizamos eˣ (opcional pero elegante).

f '(x) = eˣ(3x² + x³) = x²eˣ(3 + x)

Ejemplo 3 — Regla de la cadena

f(x) = sin(3x² + 1)

1

Función exterior: sin(□) con derivada cos(□). Interior: u = 3x² + 1.

2

Derivada del interior: u' = 6x

3

Regla de la cadena: cos(3x²+1) · 6x

f '(x) = 6x · cos(3x² + 1)

Ejemplo 4 — Regla del cociente

f(x) = (x² + 1) / (x − 2)

1

f = x²+1, g = x−2. Fórmula: (f'·g − f·g') / g²

2

f' = 2x g' = 1

3

Numerador: 2x(x−2) − (x²+1)·1 = 2x²−4x−x²−1 = x²−4x−1

f '(x) = (x² − 4x − 1) / (x − 2)²

V 30 Ejercicios para practicar

Haz clic en "Ver respuesta" solo después de intentar resolver el ejercicio por tu cuenta. El aprendizaje ocurre en el intento, no en la lectura.

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